Teorema del valor medio

Sea la función \(f:D\to\mathbb{R}\) cuyo dominio \(D\) contiene un intervalo \([a,b]\). Si \(f\) es continua en \([a,b]\) y derivable en \(]a,b[\), entonces existe \(c\in ]a,b[\) tal que

\[ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

  • El teorema no dice que \(c\) es único, puede haber más de un \(c\) que cumpla con la fórmula de arriba.

Aplicación

Sea \(f:I\to\mathbb{R}\) continua en un intervalo \(I\) y derivable en el interior de dicho intervalo. Se cumple que:

  • Si \(f'>0\) en el interior de \(I\) entonces \(f\) es creciente en \(I\).
  • Si \(f'<0\) en el interior de \(I\) entonces \(f\) es decreciente en \(I\).

También diremos que \(f\) es monótona en \(I\) cuando \(f\) es creciente (o decreciente) en \(I\).

Máximos y mínimos de una función

Dada \(f:D\to\mathbb{R}\) decimos que:

  • \(M\) es el valor máximo de \(f\) cuando existe \(c\in D\) tal que \[f(x)\leq M=f(c)\] para todo \(x\in D\). En este caso decimos que \(c\) es un máximo de \(f\).
  • \(m\) es el valor mínimo de \(f\) cuando existe \(c\in D\) tal que \[f(x)\geq m=f(c)\] para todo \(x\in D\). En este caso decimos que \(c\) es un mínimo de \(f\).

Teorema

Si \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) es continua entonces \(f\) tiene valor máximo \(M\) y valor mínimo \(m\). Además \[R_f=[m,M]\]